عِبر إعداده أوّل نظريّة في الأعداد المتحابّة . وهذا الأمر ، الذي عرفه المؤرّخون منذ القرن التاسع عشر بفضل أعمال ف . وبكيه « 1 » ( F . Woepcke ) ، لم يأخذ معناه الحقيقي إلّا منذ فترة وجيزة ، عندما أثبتنا وجود تقليد كامل ، بدأ مع ثابت بن قرّة بأسلوب أقليدسي خالص ، ليَصِلَ ، بعد عدّة قرون ، إلى الفارسي ( المتوفى عام 719 ه - / 1319 م ) بفضل تطبيق الجبر على دراسة أولى الدالّات الحسابيّة الابتدائيّة . ونذكر من بين أعلام هذا التقليد ، أسماء الكرابيسي ، والأنطاكي ، والقبيصي ، وأبو الوفاء البوزجاني ، والبغدادي ، وابن الهيثم ، وابن هود ، والكرجي . . . . ولا يمكننا أن ندّعي ، في الصفحات المخصّصة لهذه النظريّة ، تفصيل هذا العرض . لذا سنحاول بما أمكن من البساطة ، رسم معالم هذه الحركة التي ذكرنا . . . . في نهاية الكتاب التاسع من " الأصول " ، أعطى أقليدس نظريّة في الأعداد التامّة وبرهن أنّ العدد n ذا الشكل ، هو عددٌ تام أي أنّه يساوي حاصل جمع قواسمه الفعليّة « 2 » في حال كان عدداً أوّليّاً ؛ غير أنّه لم يأتِ على ذكر نظريّة الأعداد المتحابّة . قرّر ثابت بن قرّة ، إذاً ، بناء هذه النظريّة ؛ فنصّ وبرهن ، بأسلوب أقليدسي خالص ، المبرهنة الأهم ، إلى الآن ، في الأعداد المتحابّة ، والتي تحمل اليوم اسمه . ليكن حاصل جمع القواسم الفعليّة لعدد صحيح n ( أو " الأجزاء القاسمة " ل - n ) وحاصل جمع قواسم n ؛ ولنذكّر أنّ عددَيْن صحيحَيْن a و b ، يُقال لهما متحابَّان في حال كون و . مبرهنة ابن قرّة : " نأخذ عدداً طبيعيّاً n ، ، ونضع و ؛ إذا كانت ، وأعداداً أوّليّة ، عندها يكون العددان ومتحابَّيْن " . وقد أعطى ثابت أحد الأمثلة عن ثنائيّات الأعداد المتحابّة ، وهو الثنائيّ ( 220 و 284 ) . ومع علماء الجبر بشكل خاصّ ، بدأ البحث عن ثنائيّات أخرى من الأعداد المتحابّة غير تلك التي أعطاها ابن قرّة ، أي ( 220 ، 284 ) . هكذا ، نجد عند الفارسي في الشرق ، وفي وسط ابن البنّاء في الغرب ، وعند التنوخي وكذلك عند علماء آخرين في القرن السابع ه - / الثالث عشر للميلاد ، الثنائيّ ( 17296 ، 18416 ) المنسوب إلى فيرما . وفيما بعد قام اليَزدي بحساب الثنائيّ المسمّى ثنائيّ ديكارت ( 9363584 ، 9437056 ) . وألّف الفيزيائيّ والرياضيّ الشهير كمال الدين الفارسي ( المتوفّى عام 719 ه - / 1319 م ) بحثاً قصد

--> ( 1 ) يوجز وبكيه رسالة ابن قرّة في هذا المقال التالي : F . Woepcke , " Notice sur une theorie ajoutee par Th ع bit Ben Qorrah a larithmetiQue speculative des Grecs " , JA , IV , 2 ( 1852 ) , pp . 420 - 429 . ( 2 ) أي كل القواسم ما عدا العدد نفسه .